o completitud l贸gica.
Un sistema formal es completo en sentido debil si toda fbf que es l贸gicamente verdadera en el sistema es un teorema del sistema; o completo en el sentido fuerte si cualquier nuevo axioma independiente que se le a帽ada lo hace inconsistente. Ejemplos: el c谩lculo de oraciones es completo en sentido fuerte; los sistemas modales corrientes son completos en sentido debil; la teoria de conjuntos y la aritmetica son incompletos.
(Haack, 1978).
En metal贸gica, la completitud sem谩ntica es la propiedad metate贸rica que tienen los sistemas formales cuando todas las f贸rmulas l贸gicamente v谩lidas (todas las verdades l贸gicas) del sistema son adem谩s teoremas del sistema. Es decir, cuando el conjunto de las verdades l贸gicas del sistema es un subconjunto del conjunto de teoremas. En otras palabras, si A es una f贸rmula cualquiera del lenguaje y S es el sistema formal bajo consideraci贸n, entonces se cumple que: Si ⊨s A entonces ⊢s A
El segundo teorema de incompletitud de G枚del demuestra que ning煤n sistema (definido recursivamente) con cierto poder expresivo puede ser a la vez consistente y sem谩nticamente completo.
Por otra parte, la completitud sint谩ctica es la propiedad que tienen los sistemas formales cuando, para toda f贸rmula del lenguaje del sistema, o bien es un teorema o bien su negaci贸n lo es. Esto es, existe una prueba para cada f贸rmula o para su negaci贸n.
La l贸gica proposicional y la l贸gica de primer orden son ambas sem谩nticamente completas, pero no sint谩cticamente completas. Por ejemplo, en la l贸gica proposicional, la f贸rmula p no es un teorema, y tampoco lo es su negaci贸n, de modo que eso basta para mostrar que no es sint谩cticamente completa. No obstante, como ninguna de esas dos f贸rmulas es una verdad l贸gica, no afectan a la completitud sem谩ntica del sistema.
Otra propiedad metate贸rica distinta es la completitud sem谩ntica fuerte, que dice: si en un sistema formal S, A es una fbf cualquiera que es una consecuencia sem谩ntica de un conjunto 螕 de f贸rmulas, entonces existe una derivaci贸n de A a partir de 螕. En s铆mbolos: Si 螕 ⊨s A entonces 螕 ⊢s A
(Wikipedia)